# 数学クイズ: 3つの一次不等式私が高校生のときに考えた、数学のクイズです。割とお気に入り。 --- > $9$ つの実数 $a_i, b_i, c_i$ ($i \in \{1,2,3\}$) をうまくとることで、次の命題を成立させることは可能か？: > > 「下記の $3$ つの $\Box$ にそれぞれ $\lt$ もしくは $\gt$ の不等号を入れて、連立不等式を作ることを考える。 > > $$ > a_1 x + b_1 y \;\Box\; c_1 > $$ > > $$ > a_2 x + b_2 y \; \Box \; c_2 > $$ > > $$ > a_3 x + b_3 y \; \Box \; c_3 > $$ > > このとき、記号の入れ方は $2^3=8$ 通りあるが、その $8$ 通りのいずれに対しても、ある $x,y$ が存在して、これら $3$ つすべての不等式を満たす。」

解答: **不可能** ある $i$ に対して $a_i = b_i = 0$ のときは明らかに不可能なので、$a_i$ と $b_i$ の少なくとも一方が $0$ でないとしてよい。このとき、式 $a_i x + b_i y = c_i$ は平面上の直線を表し、不等式 $a_i x + b_i y < c_i$ および $a_i x + b_i y > c_i$ はそれぞれその直線の片側の領域を表す。各不等式が表す領域は、直線によって平面が $2$ つに分割されたうちの一方である。したがって、$3$ つの不等式が同時に成立するためには、$3$ 本の直線が平面を $8$ 個以上の領域に分割している必要がある。しかし、$3$ 本の直線が平面を分割できる最大の領域数は $7$ である。（一般に、$n$ 本の直線が平面を分割する最大の領域数が $n(n+1)/2 + 1$ である）

直線が一般位置の位置にあれば、領域数は7。